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B为圆O的弦P为圆周上的一点求PA分之一+PB分之一的

2019-09-03 04:07

  定理1 (Ptolemy定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和;(逆命题成立)

  定理2点到圆的幂:设P为⊙O所在平面上任意一点,PO=d,⊙O的半径为r,则d2-r2就是点P对于⊙O的幂.过P任作一直线与⊙O交于点A、B,则PA·PB= d2-r2.

  “到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线,如果此二圆相交,则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴”.三个圆两两的根轴如果不互相平行,则它们交于一点,这一点称为三圆的“根心”.三个圆的根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相交时,三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线 (Ceva定理)设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点,则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是 AZ/ZB*BX/XC*CY/YA=1

  定理4 (Menelaus定理)设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充要条件是

  定理5 (蝴蝶定理)AB是⊙O的弦,M是其中点,弦CD、EF经过点M,CF、DE交AB于P、Q,求证:MP=QM.

  定理6 张角定理:从一点出发三条线段长分别为a、b、t、(t在a、b之间),则sin(αβ)/t=sinα/b+sinβ/a

  定理7 (Simson line) P是ΔABC的外接圆⊙O上的任意一点,PX⊥AB,PY⊥BC,PZ⊥CA,垂足为X、Y、Z,求证: X、Y、Z三点共线(Euler line)三角形的外心、重心、垂心三点共线,且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半.

  定理9 (Nine point round)三角形的三条高的垂足、三条边的中点以及三个顶点与垂心连线的中点,共计九点共圆.

  定理10(三角形的内心的一个重要性质)设I、Ia分别为⊿ABC的内心及DA内的旁心,而DA平分线与⊿ABC的外接圆交于点P,则PB=PC=PI=PIa.

  定理11 (Euler定理)设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心与内心的距离为d,则d2=R2-2Rr.

  定理16 (Polya问题)两端点在给定圆周上且把圆面积二等分的所有线中,以直径最短.

  定理18布利安松定理连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F,则这三线帕斯卡定理:圆内接六边形的三双对边(所在直线)的交点共线。这条直线称为该六边形的帕斯卡线。因法国数学家帕斯卡发现而得名。

  本定理可推广为:圆锥曲线内接六边形的三双对边(所在直线)的交点共线、 四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线、 间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的

  定理23、 三角形的外心,垂心,重心在同一条直线、 、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,且半径为三角形半径的一半。

  定理25、 欧拉定理:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线、 库立奇*大上定理:(圆内接四边形的九点圆)

  圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

  定理27、波罗摩及多定理:圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时,连接AB中点M和对角线交点E的直线、阿波罗尼斯定理:到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P,位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上

  定理29、 以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB,则△DEF是正三角形

  定理30爱尔可斯定理1:若△ABC和三角形△DEF都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

  定理31、 爱尔可斯定理2:若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形,则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形

  定理32、 塞瓦定理的逆定理的应用:设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,则AR、BS、CT交于一点。从三角形各边的中点,向这条边所的顶点处的外接圆的切线引垂线,这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心。

  定理35、 一个圆周上有n个点,从其中任意n-1个点的重心,向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线:一个圆周上有n个点,从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线:一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点,则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线:一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点,则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。

  康托尔定理4:一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点,则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线、费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。

  定理38、莫利定理:将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形

  定理40、牛顿定理1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点,三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线:平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线:相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线。

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